লগের ভিত্তি বা বেইজ কেন শূন্য হতে পারে না?

মরা প্রায় সবাই-ই জানি যে, লগের ভিত্তি বা বেইজ কখনো শূন্য হতে পারে না। এবং লগের ভিত্তি যদি শূন্য নেয়া হয়, তাহলে সেই লগের কোন ফলাফল আসে না বা অসঙ্গায়িত ফলাফল। কিন্তু কেন?
লগের ভিত্তি শূন্য হলে এমন কি সমস্যা-ই বা হত?
এবং, লগের ভিত্তি এবং লগে দেয়া সংখ্যা উভয়েই শূন্য হলে কি হত?

“লগের ভিত্তি কেন শূন্য হতে পারে না?”- বুঝতে হলে, প্রথমেই বুঝতে হবে লগ এবং লগের বেইজ বা লগের ভিত্তি সম্বন্ধে। “মজার গণিত”-এর বিগত গণিত পোস্টে লগ(log) এবং লন(ln) নিয়ে বিস্তারিত লেখা হয়েছিল। তাই, প্রথমত লগ সম্বন্ধে খুব ভালো ধারণা থাকতে হবে। সেজন্য এই লেখাটি প্রথমে পড়ে আসুনঃ-

এবার শুরু করা যাকঃ

যারা লগ সম্বন্ধে মোটামুটি ভালো জানেন, তারা জানেন যে, “কোন লগারিদম বা লগের অংকে একটি সংখ্যা দেয়া হয়। লগের কাজ হল সেই সংখ্যাকে লগের বেইজের ‘power’ বা ‘to the power’ বা ‘ঘাত’ হিসেবে প্রকাশ করা। যা হচ্ছে ঐ লগের ফলাফল। অর্থাৎ, লগের ফলাফল হচ্ছে বেইজ এর ‘power’ বা ‘to the power’ বা ‘ঘাত’”- এই কথাটার মানে অবশ্যই ভালোমত বুঝতে হবে। তা না হলে, সামনের কোন কিছুই বুঝা যাবে না। এই কথাটা না বুঝলে উপরে দেয়া লিঙ্ক হতে “লগ(log) এবং লন(ln) কি?” পড়ে আসুন।

কোন লগের ভিত্তি শূন্য বলতে কি বুঝায়?

কোন লগের ভিত্তি শূন্য মানে, ঐ লগে যদি কোন সংখ্যা দেয়া হয়, তবে লগ সেই সংখ্যাটিকে শূন্যের "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হিসেবে প্রকাশ করার চেষ্টা করবে। এবং বেইজের "power" বা "to the power" বা "ঘাত" যা আসবে, তা হবে ঐ লগের ফলাফল।
এবার একটু চিন্তা করুন ...
শূন্যের "power" বা "to the power" বা "ঘাত" যা-ই হোক না কেন, ফলাফল তো সর্বদা একই আসবে। শূন্যের "power" বা "to the power" বা "ঘাত" বলতে আসলে কিছু নেই। কারণ, শূন্যের উপর "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হিসেবে যত বড় বা যত ছোট সংখ্যাই দেয়া হোক না কেন, ফলাফল সর্বদা শূন্যই আসবে। *(শূন্যের পাওয়ার যদি শূন্য হয়, তবে তা কিন্তু অনির্ণেয়)*
এখন যদি আমরা কোন লগের ভিত্তি শূন্য দেই এবং লগে input হিসেবে যদি দেই ১০, তাহলে এর মানে আমরা লগকে বলছি, “এই লগ! ১০ সংখ্যাটিকে শূন্যের ‘power’ বা ‘to the power’ বা ‘ঘাত’ হিসেবে তৈরি করে দাও তো!”- কি সাংঘাতিক! ১০ কে শূন্যের "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হিসেবে তৈরি করতে হবে! এটা কি কখনো সম্ভব? না, কখনোই সম্ভব না। কারণ, শূন্যের উপর "power" বা "to the power" বা "ঘাত" দিলে সর্বদা শূন্যই পাওয়া সম্ভব। শূন্য ব্যতিত অন্য কোন সংখ্যা পাওয়া সম্ভব না। তাই, লগের বেইজ বা ভিত্তি শূন্য দিয়ে কোন সংখ্যা input দেয়া হলে, লগ সেই সংখ্যাকে শূন্যের "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হিসেবে প্রকাশ করতে পারে না। ফলে, এর কোন ফলাফল পাওয়া যায় না। অর্থাৎ, এর কোন মান নেই বা গাণিতিক ভাষায় “অসঙ্গায়িত”!

লগের ভিত্তি এবং লগে দেয়া সংখ্যা উভয়েই যদি শূন্য হয়?

“লগের ভিত্তি শূন্য হলে, সেই মান অসঙ্গায়িত”- এটা তো আমরা জানলাম। কিন্তু, লগের ভিত্তি এবং লগের input এ দেয়া সংখ্যা উভয়েই শূন্য হলে কি হবে?
এক্ষেত্রে ফলাফল “অসঙ্গায়িত” এবং “অনির্ণেয়”! কিভাবে? সেটাই তো এখন দেখার বিষয়!
লগের ভিত্তি শূন্য বসানোর মানে, আমরা এমন একটি লগের মেশিন তৈরি করেছি, যেখানে লগের input এ কোন সংখ্যা দেয়া হলে সেই সংখ্যাকে আমাদের লগের মেশিন শূন্যের "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হিসেবে প্রকাশ করে দেখাবে। আমরা একটু আগে জানলাম, কোন সংখ্যার-ই এক্ষেত্রে লগের মান পাওয়া সম্ভব নয়।
কিন্তু, শূন্যের পাওয়ার যেকোনো কিছু হলে তো ফলাফল শূন্য। তার মানে, লগের বেইজ এবং input এ দেয়া সংখ্যা যদি শূন্য হয়, তাহলে কিছু একটা হওয়া সম্ভব! কিন্তু, কি হবে? সেক্ষেত্রে আসলে লগের ফলাফল অনেক! কারণ, লগের ভিত্তি এবং input উভয় স্থানেই শূন্য দিয়ে লগকে আমরা বলছি, “এই লগ! ০ সংখ্যাটিকে শূন্যের ‘power’ বা ‘to the power’ বা ‘ঘাত’ হিসেবে তৈরি করে দাও তো!”
এখন, শূন্যের উপর পাওয়ার হিসেবে যেকোনো কিছু বসালে ফলাফল সর্বদা শূন্য। তাই, এই অংকের ফলাফল রয়েছে অসীম সংখ্যক! কেননা, ০ এর উপর ১ বসালেও ০, ০ এর উপর ২ বসালেও ০, ০ এর উপর ৩ বসালেও ০, ০ এর উপর ৪ বসালেও ০, ০ এর উপর ৫ বসালেও ০, ০ এর উপর ৬ বসালেও ০, ০ এর উপর ৭ বসালেও ০, ............... এভাবে অনন্তকাল চলতে থাকবে। তাই, নির্দিষ্ট করে কোন ফলাফল বলা সম্ভব নয়। অর্থাৎ, এক্ষেত্রে তা “অসঙ্গায়িত” এবং “অনির্ণেয়”!

নোটঃ আমার আজকের এই লেখা পড়ে যদি অন্তত একজন-ও "লগের ভিত্তি বা বেইজ কেন শূন্য হতে পারে না?" বুঝতে পারে, তাহলে আমার আজকের লেখা সার্থক। যদি কারো কোন জায়গায় বুঝতে অসুবিধা হয়, অথবা যদি কোন প্রশ্ন বা প্রতিক্রিয়া থাকে, তবে নিচে মন্তব্য করে জানাতে পারেন। সবার জীবন হোক গণিতময় :)

ই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৭৩৯ কেবি)

10 টি মন্তব্য:

  1. ভাই আমার একটা প্রশ্ন আছে ????
    আমার সবাই জানি যে শূন্যে ( 0 )কে কোন সংখ্যা সাথে গুণ করলে গুণ ফল শুন্যই( 0) হয়। আবার 0/কোন সংখ্যা = 0 এবং কোন সংখ্যা ÷ 0 = infinitive হয়। প্রশ্ন টা হচ্ছে এর কারণ টা কি? এর কোন প্রমান, ইতিহাস বা কোন যুক্তি যুক্ত ব্যাখা আছে কি ?? যদি কেউ জানেন তো আমাকে জানান. ফেসবুক. প্রাফাইলা ..sayful Islam sajib . E-mail : sajibtex99@gmail.com

    উত্তরমুছুন
    উত্তরগুলি
    1. ইতোমধ্যে শূন্য নিয়ে "মজার গণিত" ব্লগে একটি আর্টিকেল লিখা হচ্ছে। সেখানে আপনার এইসকল প্রশ্নের উত্তর থাকবে ইনশাআল্লাহ্‌। সেই পর্যন্ত অপেক্ষা করার জন্য আপনাকে অনুরোধ করা যাচ্ছে।

      মজার গণিতের সাথেই থাকুন :)

      মুছুন
    2. শুন্য নিয়ে বিস্তারিত আলোচনার লেখাটি ব্লগে ইতোমধ্যে পোস্ট করা হয়েছে।
      শিরোনামঃ শুন্য নিয়ে ভগর ভগর।
      বিস্তারিত পোস্টঃ http://mojargonit.blogspot.com/2014/12/zero-details.html

      মুছুন
    3. আমার একটা প্রশ্ন আছে, ধরুন শুন্য ‍দিয়ে কোন কিছু কে গুণ দিলে সেটা শুণ্য হয়ে যায় আমরা সবাই জানি। কিন্তু বাস্তবতা কি বলে ? বাস্তবতা বলে , ধরেণ আমি একজন ব্যাক্ত আমাকে যদি আপনি শুণ্য ‍দিয়ে গুণ দেন, তাতে আমি শুণ্য হয়ে যাবো না । আমি যে এক সে এক থেকে যাবো । আবার আমার মত আর ও 10 জন ব্যক্তির সাথে আপনি কল্পনা করে শুণ্য দিয়ে গুণ দিলে ও আমরা 10 জন 100 জন হয়ে যাবো না। অথবা শুন্য হবো না । তাহলে অংকের ক্ষেত্রে কেন এই অসাম্যন্জস্যতা ?

      মুছুন
  2. লগের ভিত্তি ০ কেন নয় তা তো বুঝা গেল কিন্তু লগের ভিত্তি ঋণাত্মক হয় না কেন? Log-2(4)=2 হলে সমস্যা কি ছিল?

    উত্তরমুছুন
    উত্তরগুলি
    1. লগের ভিত্তি শূন্য বসানোর মানে, আমরা এমন একটি লগের মেশিন তৈরি করেছি, যেখানে লগের input এ কোন সংখ্যা দেয়া হলে সেই সংখ্যাকে আমাদের লগের মেশিন শূন্যের power হিসেবে প্রকাশ করে দেখাবে।

      যেহেতু শূন্যের ক্ষেত্রে সেটা সম্ভব নয়, সেহেতু ঋণাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে আরো আগে সেটা সম্ভব না।

      মুছুন
    2. এক্ষেত্রে সমস্যা নাই কিন্তু বলো তো, log -2( 8) = ? অর্থাৎ, -2 এর ঘাত কত হলে 8 হবে? আসলে, এটার কোনো বাস্তব মান নেই। কি তাজ্জব ব্যাপার! কখনো -2 এর জন্য মান পাচ্ছি, কখনো পাচ্ছিনা! এইসব ঝুটঝামেলা থেকে রেহাই পাবার জন্যই শূন্যের চেয়ে ছোট অর্থাৎ ঋণাত্মক সংখ্যার সেটকে আমরা লগারিদমের টপিক থেকে বাদ দিয়ে দেই

      মুছুন
  3. লগের ভিত্তি ঋণাত্মক না হওয়ার বিষয়টি ভালো করে বুঝি না।।

    উত্তরমুছুন
  4. হুম লগ কি ? লগ কেন ? লগারিদম কিভাবে কি কাজ করে এই নিয়ে একটা লেখা দিয়েন ।

    উত্তরমুছুন
  5. এই মন্তব্যটি একটি ব্লগ প্রশাসক দ্বারা মুছে ফেলা হয়েছে।

    উত্তরমুছুন

 

মজার গণিত যাদের জন্যে উৎসর্গ

মজার গণিত ব্লগটা আমি সকল গণিতপ্রেমি শিক্ষার্থীদের জন্যে উৎসর্গ করলাম। বিশেষ করে, আমার প্রানপ্রিয় "এ.কে. হাই স্কুল" এর সকল বন্ধুদের এবং শিক্ষকদের জন্যে এই ব্লগটি উৎসর্গ করলাম! কারন, অংক আমি যতটুকুই পারি না কেন, এ.কে. হাই স্কুল থেকেই অংকের প্রতি আমার ভালোবাসা জন্মে। তাই এখনো আমার মাঝে মাঝে মনে হয়, "স্কুল জীবনটাই সবচেয়ে মজার (অংকের মত!)" ...

এ.কে. - আমি চিরকৃতজ্ঞ তোমার কাছে!

মজার গণিত ফ্যান পেজ




মজার গণিতের সঙ্গেই থাকুন।

আমি কে?

-। থাকি নারায়ণগঞ্জ। বর্তমানে অধ্যয়নরত আছি কুয়েটের কম্পিউটার বিজ্ঞান ও প্রকৌশল বিদ্যা বিভাগে। নিজের সম্পর্কে তেমন কিছুই জানি না! মাঝে মাঝে গুগলে "mubin986" লিখে সার্চ দিয়ে নিজেকে চেনার চেষ্টা করি! পড়ালেখা বাদে সকল কাজ করতেই আমার ভালো লাগে! গণিতকে কিসের জন্যে যে ভালো লাগে?- তা আমি নিজেও জানি না! কারণ, গণিতকে আমার কাছে পড়ালেখা মনে হয় না! এটাকে আমার কাছে খেলা মনে হয়! যেই খেলায় হারতেও মজা লাগে! কারণ, ওই হারের মধ্যেই লুকিয়ে থাকে এক নতুন খেলা!!