বাচ্চাকালের (a+b)²

বীজগণিত জগতে পা দেবার পর প্রথম যেই ৫ টি সূত্র আমরা শিখেছিলাম, তার একটি হচ্ছেঃ

(a+b)²=a²+2ab+b²

৬ষ্ঠ শ্রেণি থেকেই যা আমাদের থাডা মুখস্ত! আজও অনেক অংক সমাধানের কাজে যা একান্তভাবে প্রয়োজন। কিন্তু, এই সূত্রটা আসলে কিসের সূত্র?
উত্তরঃ এটি আসলে বর্গের ক্ষেত্রফলের সূত্র।
কিভাবে?
কারন, বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য c হলে আমরা জানি, বর্গের ক্ষেত্রফল= c²
তেমনি, c কে যদি আমরা a ও b দুইটাভাগে ভাগ করি, তাহলে, c=a+b
অতএব, c²=(a+b)²
তাহলে এখন আমরা জানি, (a+b)² হচ্ছে কোন বর্গের ক্ষেত্রফল।

সূত্র প্রতিষ্ঠাকরণ


গল্প দিয়ে শুরু এবং শেষঃ গণিত পণ্ডিতেরা যখন কোন বর্গক্ষেত্রের আর আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের করা শিখল, তখন তারা শিখল যে,
কোন বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= (বাহু)²
এবং, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= দৈর্ঘ্য X প্রস্থ
যদি কোন বর্গের যেকোনো এক বাহুর দৈর্ঘ্য হয় c, তাহলে তার ক্ষেত্রফল= c²
চিত্রে দেখানো হলঃ

একদিন তাদের মধ্যে একজন বর্গক্ষেত্রের বাহুকে অসমান দুইভাগে ভাগ করলো। অর্থাৎ, প্রথমে বাহু যদি হয় c, পরে সে c কে এমন ভাবে ভাগ করলো যাতে c=a+b হয়। চিত্রে a ও b কে খণ্ডিত করে দেখানো হলঃ

এখানে দেখা যাচ্ছে, c কে দুই অংশে ভাগ করায় c=a+b হয়। অর্থাৎ, এক্ষেত্রে এই বর্গের নতুন ক্ষেত্রফল=(বাহু)²=c²=(a+b)²
এখন, এই (a+b)² এর মান বের করাই হচ্ছে আসল উদ্দেশ্য। যা হবে (a+b)² এর সূত্র।

সুত্র প্রমাণের আগে নিচের চিত্রটি দেখে নিই...

দেখা যাচ্ছে, বাহুগুলোকে সংযোগ করার পর বড় যেই অংশটা থেকে যাচ্ছে, তার প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং যার ক্ষেত্রফল= a². অপরদিকে ছোট অংশটার প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য b এবং এর ক্ষেত্রফল= b²
কিন্তু আরও দুইটা অংশ থেকে যাচ্ছে। যেই অংশ দুটি আয়তক্ষেত্র। এবং, চিত্রানুসারে এদের দৈর্ঘ্য a এবং প্রস্থ b
অতএব, এদের প্রত্যেকের ক্ষেত্রফল= দৈর্ঘ্য X প্রস্থ= a x b= ab
নিচের চিত্রে দেখানো হলঃ

সুতরাং, দুইটি আয়তক্ষেত্রের মোট ক্ষেত্রফল= ab + ab= 2ab
এখন, সমগ্র বর্গের ভেতরের ক্ষেত্রফলগুলো যোগফল= a²+b²+ab+ab = a²+b²+2ab = a²+2ab+b²
অতএব, (a+b)²= a²+2ab+b²

আর এভাবেই আমরা পেলাম (a+b)²= a²+2ab+b²

বিঃদ্রঃ উপরের প্রমাণটি নিয়ে কারো কোন প্রকার প্রশ্ন থাকলে নিচের মন্তব্যে জানাতে পারেন...


ই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৬২৮ কেবি)

2 টি মন্তব্য:

 

মজার গণিত যাদের জন্যে উৎসর্গ

মজার গণিত ব্লগটা আমি সকল গণিতপ্রেমি শিক্ষার্থীদের জন্যে উৎসর্গ করলাম। বিশেষ করে, আমার প্রানপ্রিয় "এ.কে. হাই স্কুল" এর সকল বন্ধুদের এবং শিক্ষকদের জন্যে এই ব্লগটি উৎসর্গ করলাম! কারন, অংক আমি যতটুকুই পারি না কেন, এ.কে. হাই স্কুল থেকেই অংকের প্রতি আমার ভালোবাসা জন্মে। তাই এখনো আমার মাঝে মাঝে মনে হয়, "স্কুল জীবনটাই সবচেয়ে মজার (অংকের মত!)" ...

এ.কে. - আমি চিরকৃতজ্ঞ তোমার কাছে!

মজার গণিত ফ্যান পেজ




মজার গণিতের সঙ্গেই থাকুন।

আমি কে?

-। থাকি নারায়ণগঞ্জ। বর্তমানে অধ্যয়নরত আছি কুয়েটের কম্পিউটার বিজ্ঞান ও প্রকৌশল বিদ্যা বিভাগে। নিজের সম্পর্কে তেমন কিছুই জানি না! মাঝে মাঝে গুগলে "mubin986" লিখে সার্চ দিয়ে নিজেকে চেনার চেষ্টা করি! পড়ালেখা বাদে সকল কাজ করতেই আমার ভালো লাগে! গণিতকে কিসের জন্যে যে ভালো লাগে?- তা আমি নিজেও জানি না! কারণ, গণিতকে আমার কাছে পড়ালেখা মনে হয় না! এটাকে আমার কাছে খেলা মনে হয়! যেই খেলায় হারতেও মজা লাগে! কারণ, ওই হারের মধ্যেই লুকিয়ে থাকে এক নতুন খেলা!!