বিগত পোস্টে আমরা জটিল সংখ্যার ω এবং ω² নিয়ে জেনেছিলাম। আজ আমরা এই ω এবং ω² এর দুটি সূত্র সম্পর্কে জানবো এবং সেই সূত্রগুলোর প্রমাণও দেখবো ! :) ! কথা না বাড়িয়ে চলুন শুরু করিঃ
সূত্রাবলীঃ
সূত্র ১: ω³=1
সূত্র ২: 1+ω+ω²=0
সূত্র দুটির প্রমানঃ
সূত্র ১ এর প্রমাণঃ
আমরা জানি,
-1+√(-3)
ω = ─────── ...................... (i)
2
-1-√(-3)
এবং, ω²= ─────── ...................... (ii)
2
(i) ও (ii) নং সমীকরণ গুন করে পাই,
-1+√(-3) -1-√(-3)
ω.ω² = ─────── x ───────
2 2
{(-1)+√(-3)}{(-1)-√(-3)}
বা, ω³ = ──────────────
2 x 2
(-1)² - {√(-3)}²
= ────────── [যেহেতু, (a+b)(a-b) = a² - b²]
4
1 - (-3)
= ──────
4
1 + 3
= ─────
4
4
= ──
4
= 1
সুতরাং, ω³=1
[প্রমাণিত]
সূত্র ২ এর প্রমাণঃ
1, ω এবং ω² হচ্ছে ³√1 এর তিনটি মূল। আমাদের প্রমাণ করতে হবে, ³√1 এর মূল তিনটির যোগফল শুন্য(০)
অর্থাৎ, 1+ω+ω²=0
প্রমাণঃ
আমরা জানি,
-1+√(-3)
ω = ───────
2
-1-√(-3)
এবং, ω²= ───────
2
সুতরাং, বামপক্ষ = 1+ω+ω²
-1+√(-3) -1-√(-3)
= 1 + ─────── + ─────── [ω এবং ω² এর মান বসিয়ে]
2 2
2 + {-1+√(-3)} + {-1-√(-3)}
= ──────────────────
2
2 - 1 + √(-3) - 1 - √(-3)
= ───────────────
2
2 - 2
= ────
2
0
= ──
2
= 0
অর্থাৎ, 1+ω+ω² = 0
[প্রমাণিত]
নোটঃ এই প্রমাণ দুটি অনেকেই হয়তোবা আগে থাকতেই জানেন। কিন্তু, আমি এই প্রমাণ দুটি "মজার গণিত"- এ লিখার কারন হলোঃ এমন অনেকেই আছে, যারা এই প্রমাণগুলো ভালোমতো বোঝে না/ স্যারেরাও বোঝায় না (আমি সব কলেজের স্যারদের কথা বলছি না)! তাই, এমন অনেক ছাত্রছাত্রীই আছে, যারা এই সহজ জিনিসগুলাও জানে না!ফলে, অংক করার সময় তাদের অনেক সমস্যায় পড়তে হয়! অনেকে তো না বুঝতে পেরে অংক "ঠাডা মুখস্থ" করা শুরু করে দেয়!!! অংক কি মুখস্থ করার জিনিস?!? :L ? যাই হোক, আজকের এই প্রমাণ দুটির একটিও যদি অন্তত একজন শিক্ষার্থী ভালোমতো বুঝতে পারে, তাহলে আমার আজকের লেখা সার্থক! :) !
0 টি মন্তব্য:
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন