জটিল সংখ্যায় ω এবং ω² বলতে কি বোঝায়???


নেকদিন পর আবারও লিখতে বসলাম! পরীক্ষা থাকার কারনে এতোদিন আমার সাধের "মজার গণিত" ব্লগটাতে খানিক সময়ের জন্যেও টুঁ মারতে পারিনি! :( ! যার জন্যে লেখালেখি হতেও অনেক দূরে ছিলাম! যাই হোক, আমার পরীক্ষার ফলাফলের জন্যে দোয়া করবেন (বিশেষ করে, জীববিজ্ঞান এবং রসায়নের জন্যে :P). প্যাঁচাল অনেক করলাম! এখন একটু অংক করি :P


আজকের টপিক "জটিল সংখা" বা "Imagine Number" এর "ω এবং ω²" নিয়ে। তো চলুন, শুরু করিঃ
"ω এবং ω²" হচ্ছে ³√1 এর দুটি মূল। আগের পর্বে আমরা দেখেছিলাম, "³√1=? (এক এর ঘনমূল কত?)". 
                                                                                                     -1+√(-3)          -1-√(-3)
সেখানে আমরা দেখতে পাই যে, ³√1 এর মান তিনটি, যথাঃ 1 বা, ──────  বা, ──────. যেখানে,
                                                                                                            2                     2
                                         -1+√(-3)                           -1-√(-3)
                               ω = ───────   এবং,   ω²= ─────── ধরা হয়। কিন্তু কেন?
                                               2                                        2

    -1-√(-3)                               -1+√(-3)                                                 -1+√(-3)
───────   কি আসলেই  ─────── এর বর্গের সমান? অথবা,  ─────── কে বর্গ করলে কি
        2                                           2                                                           2
                               -1-√(-3) 
আমরা আসলেই  ───────  পাবো? তো চলুন, দেখা যাকঃ
                                   2    

প্রমাণঃ

আমরা জানি,

                 -1+√(-3)
       ω = ───────
                     2

                {-1+√(-3)}²
বা, ω² =  ───────        [উভয় পক্ষে বর্গ করে]
                      2²
       
                 (-1)²+2(-1)√(-3)+{√(-3)}²
          = ───────────────── [যেহেতু, (a + b)² = a² + 2ab + b²]
                                    4

                1-2√(-3)+(-3)
          = ──────────
                         4

              1-2√(-3)-3
          = ───────
                      4

               -2-2√(-3)
          = ───────
                     4

                 2{-1-√(-3)}
          = ─────────
                     2 x 2

               -1-√(-3)
          = ──────
                    2

                       -1-√(-3)
সুতরাং, ω² = ──────
                            2

                    -1+√(-3)                          -1-√(-3)
অর্থাৎ, ω = ───────   হলে,  ω²= ───────
                          2                                      2

[প্রমাণিত]

আর তাই, জটিল সংখ্যার অনেক অংকে আমরা লিখি যে,
                                     -1+√(-3)                       -1-√(-3)
ধরি/ আমরা জানি, ω = ──────  এবং,   ω²= ──────
                                              2                                2

নোটঃ অনেকেই হয়তোবা এইটা জানেন। কিন্তু, আমি এই সহজ জিনিসটা লিখার কারন হলোঃ নতুন যারা আছে, তারা অনেকেই এই জিনিসগুলা ভালোমতো বোঝে না/ স্যারেরাও বোঝায় না (আমি সব কলেজের স্যারদের কথা বলছি না)! তাই, এমন অনেক ছাত্রছাত্রীই আছে, যারা এই সহজ জিনিসগুলা জানে না। ফলে, অংক করার সময় তাদের অনেক সমস্যায় পড়তে হয়! অনেকে তো না বুঝতে পেরে "ঠাডা মুখস্থ" করা শুরু করে দেয়!!! অংক কি মুখস্থ করার জিনিস?!? :L ? যাই হোক, আমার আজকের এই লেখা পড়ে যদি অন্তত একজন শিক্ষার্থীও এই জিনিসটা ভালোমতো বুঝতে পারে, তাহলে আমার আজকের এই লেখা সার্থক! :) !

আগামীতে ইনশাআল্লাহ্‌ ω এবং ω² এর কয়েকটি সূত্রের প্রমাণ দেখবো। সে প্রত্যাশা ব্যক্ত করে আজকের মত বিদায় নিচ্ছি। :)

♥♥ সকলের জীবন হোক গণিতের মতোই সুন্দর! ♥♥


ই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৭২২ কেবি)

0 টি মন্তব্য:

একটি মন্তব্য পোস্ট করুন

 

মজার গণিত যাদের জন্যে উৎসর্গ

মজার গণিত ব্লগটা আমি সকল গণিতপ্রেমি শিক্ষার্থীদের জন্যে উৎসর্গ করলাম। বিশেষ করে, আমার প্রানপ্রিয় "এ.কে. হাই স্কুল" এর সকল বন্ধুদের এবং শিক্ষকদের জন্যে এই ব্লগটি উৎসর্গ করলাম! কারন, অংক আমি যতটুকুই পারি না কেন, এ.কে. হাই স্কুল থেকেই অংকের প্রতি আমার ভালোবাসা জন্মে। তাই এখনো আমার মাঝে মাঝে মনে হয়, "স্কুল জীবনটাই সবচেয়ে মজার (অংকের মত!)" ...

এ.কে. - আমি চিরকৃতজ্ঞ তোমার কাছে!

মজার গণিত ফ্যান পেজ




মজার গণিতের সঙ্গেই থাকুন।

আমি কে?

-। থাকি নারায়ণগঞ্জ। বর্তমানে অধ্যয়নরত আছি কুয়েটের কম্পিউটার বিজ্ঞান ও প্রকৌশল বিদ্যা বিভাগে। নিজের সম্পর্কে তেমন কিছুই জানি না! মাঝে মাঝে গুগলে "mubin986" লিখে সার্চ দিয়ে নিজেকে চেনার চেষ্টা করি! পড়ালেখা বাদে সকল কাজ করতেই আমার ভালো লাগে! গণিতকে কিসের জন্যে যে ভালো লাগে?- তা আমি নিজেও জানি না! কারণ, গণিতকে আমার কাছে পড়ালেখা মনে হয় না! এটাকে আমার কাছে খেলা মনে হয়! যেই খেলায় হারতেও মজা লাগে! কারণ, ওই হারের মধ্যেই লুকিয়ে থাকে এক নতুন খেলা!!